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曲線









1、曲線とは



平面、あるいは空間内で、その点の座標が


一つの実変数tの連続関数となっているものを曲線、または連続曲線という。


平面内の曲線を平面曲線といい、方程式x=f(t), y=g(t)で表される。



空間内の曲線を空間曲線といい、x=f(t), y=g(t), z=h(t)で表される。



 曲線はまた、
F(x, y)=0あるいはF(x, y, z)=0, G(x, y, z)=0の形で与えられることもある。


たとえばは、





x=cos , y=sin t  
あるいは x2+y2=rの形で与えられる。


 平面曲線はまた、y=u(x)あるいは極座標によって


r=v(θ)で与えられることもある。以下では、おもに平面曲線を考える。


 「アステロイド」「カージオイド」「クロソイド」「コンコイド」


「サイクロイド」「疾走線(しっそうせん)」「トラクトリックス」

「螺線(らせん)」「リマソン」などの個々の曲線については、各項目を参照されたい。


[竹之内脩]






2、滑らかな曲線




平面曲線x=f(t), y=g(t)において、

f(t), g(t)が導関数を有し、かつそれらが連続であるとき、

この曲線を滑らかな曲線という。

そして、f′(t), g′(t)を成分とするベクトル(f′(t), g′(t))を接ベクトルという。


滑らかな曲線とは接ベクトルが連続的に変わっていく曲線、という意味である。

接ベクトルは、曲線上の近い2点 P(t)=(f(t), g(t)) P(t+Δt)=(f(t+Δt), g(t+Δt))

を結ぶベクトルをΔtで割って極限をとったものである。[竹之内脩]







3、曲線の長さ








2点A、Bを結ぶ曲線があるとき、この曲線上でA、Bの間に順に数多くの点

P1, P2,……, Pn-1 (A=P0, B=Pn)


をとり、これらの点を次々と線分で結んで折れ線をつくる。


この折れ線の長さ(各線分の長さの和)が、

点のとり方をこの曲線上密になるようにしていったとき、

ある極限値に収束するならば、この曲線は長さがあるといい、

この極限値を曲線の長さという。









 滑らかな曲線は長さを有し、その長さは次のようになる。



たとえば、円の場合は

となり、周知の値を得る。


また、放物線y=x2のx=aからx=b(a<b)までの長さは、

曲線の式がF(x, y)=0の形で与えられているとき、


もしもある点で∂F/∂x=0,∂F/∂y=0が成り立っていると、

この点の近くでは一般にF(x, y)=0をx=f(t), y=g(t)の形に表すことができない。

これを、この曲線の特異点という。



 曲線の式が与えられたとき、
この曲線の概形を描くことを、曲線の追跡という。


このためには、曲線の存在する範囲や、特異点漸近線などを調べるとよい。


 円のように両端がつながっている曲線を閉曲線という。


レムニスケートのように自分自身と交わりをもつ閉曲線もある。


レムニスケート




自分自身と交わりをもたない閉曲線を単純閉曲線あるいはジョルダン閉曲線という。



ジョルダン閉曲線

ジョルダンは次のことを示した(1893)。


「平面内の単純閉曲線は、平面を内部と外部の二つの部分に分け、

内部の点と外部の点は、この曲線と交わることなしには結べない」。

これをジョルダンの曲線定理という。

内容は常識的であるが、

数学的に証明しようとするとむずかしい定理である。[竹之内脩]



『栗田稔著『いろいろな曲線』(1966・共立出版)』








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