1、曲線とは
平面、あるいは空間内で、その点の座標が
一つの実変数tの連続関数となっているものを曲線、または連続曲線という。
平面内の曲線を平面曲線といい、方程式x=f(t), y=g(t)で表される。
空間内の曲線を空間曲線といい、x=f(t), y=g(t), z=h(t)で表される。
曲線はまた、F(x, y)=0あるいはF(x, y, z)=0, G(x, y, z)=0の形で与えられることもある。
たとえば円は、
x=r cos t , y=r sin t あるいは x2+y2=r2 の形で与えられる。
平面曲線はまた、y=u(x)あるいは極座標によって
r=v(θ)で与えられることもある。以下では、おもに平面曲線を考える。
「アステロイド」「カージオイド」「クロソイド」「コンコイド」
「サイクロイド」「疾走線(しっそうせん)」「トラクトリックス」
「螺線(らせん)」「リマソン」などの個々の曲線については、各項目を参照されたい。
[竹之内脩]
2、滑らかな曲線
f(t), g(t)が導関数を有し、かつそれらが連続であるとき、この曲線を滑らかな曲線という。
そして、f′(t), g′(t)を成分とするベクトル(f′(t), g′(t))を接ベクトルという。
滑らかな曲線とは接ベクトルが連続的に変わっていく曲線、という意味である。
接ベクトルは、曲線上の近い2点 P(t)=(f(t), g(t)) P(t+Δt)=(f(t+Δt), g(t+Δt))
を結ぶベクトルをΔtで割って極限をとったものである。[竹之内脩]
3、曲線の長さ
P1, P2,……, Pn-1 (A=P0, B=Pn)
をとり、これらの点を次々と線分で結んで折れ線をつくる。
この折れ線の長さ(各線分の長さの和)が、
点のとり方をこの曲線上密になるようにしていったとき、
ある極限値に収束するならば、この曲線は長さがあるといい、この極限値を曲線の長さという。
滑らかな曲線は長さを有し、その長さは次のようになる。

たとえば、円の場合は

となり、周知の値を得る。
また、放物線y=x2のx=aからx=b(a<b)までの長さは、

曲線の式がF(x, y)=0の形で与えられているとき、
もしもある点で∂F/∂x=0,∂F/∂y=0が成り立っていると、
この点の近くでは一般にF(x, y)=0をx=f(t), y=g(t)の形に表すことができない。
これを、この曲線の特異点という。
曲線の式が与えられたとき、この曲線の概形を描くことを、曲線の追跡という。
このためには、曲線の存在する範囲や、特異点、漸近線などを調べるとよい。
円のように両端がつながっている曲線を閉曲線という。
レムニスケートのように自分自身と交わりをもつ閉曲線もある。
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レムニスケート |
自分自身と交わりをもたない閉曲線を単純閉曲線、あるいはジョルダン閉曲線という。
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ジョルダン閉曲線 |
ジョルダンは次のことを示した(1893)。
「平面内の単純閉曲線は、平面を内部と外部の二つの部分に分け、
内部の点と外部の点は、この曲線と交わることなしには結べない」。
これをジョルダンの曲線定理という。
内容は常識的であるが、
数学的に証明しようとするとむずかしい定理である。[竹之内脩]
『栗田稔著『いろいろな曲線』(1966・共立出版)』
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