スキップしてメイン コンテンツに移動

ガロア理論






1,ガロア理論とは


xを変数とするとき、2次方程式ax²+bx+c=0の解が

x=(-b±√(b²-4ac))/2aで与えられることはよく知られている。



n次方程式の解が、2次方程式のように、係数を用いて加減乗除と根号で書き表すことができる時、

つまり、このような解の公式を作ることができる時、代数的に解けるという


3次方程式、4次方程式が代数的に解けることは16世紀から知られており、

解の公式はそれぞれカルダノ(G.Cardano)の公式、フェラーリ(L.Ferrari)の公式と呼ばれている。

19世紀初めにノルウェーの数学者アーベル(N.H.Abel)は、

5次以上の方程式が代数的には解けないことを証明した。










ほぼ同時期に、

フランスの数学者ガロア(E.Galois)群の概念を導入し、

解の公式が存在するための必要十分条件を群の性質としてとらえうることを発見した。


その後、この理論はの関係として整理され、ガロア理論と呼ばれるようになった。


アーベルは自分の論文が認められる寸前に26歳で病死し、

ガロアはフランス7月革命の荒波にさらされ、20歳7カ月にして決闘の末、世を去った。

これら若き天才数学者たちの不遇の一生は、歴史上の数学ロマンとなっている。


(桂利行 東京大学大学院教授 / 2007年)




2,もっと詳しく…




の性質を有限群に関連させて調べる理論。

n次の方程式は重根を重複して数えればn個の複素数解をもつ。

これはガウスによって証明された代数学の基本定理である。


二次、三次、四次の方程式は、とくに、係数とn乗根(n=2, 3, 4)を用いて解くことができる。



しかるに五次以上の方程式は、たとえばxn-a=0といった特殊なものを除けば、

係数とn乗根だけでは解くことができない。


これが有名なアーベルの定理である。

アーベルが19世紀初頭にこれを得たのに引き続いて、

ガロアは、根の間の置換のなす群を研究することによって、

べき根によって方程式が解けるかどうかを群の問題に転化する原理を確立した。






これがガロアの理論である。


一見、アーベルの定理によって代数学は研究すべき対象を失ったかに思えたが、

実際には古典代数学の幕引きが行われたのであり、

以後、などの代数的構造を研究する新しい代数学が誕生した。


 Qでもって有理数体を表す。f(x)を有理係数のn次既約多項式とする。

方程式f(x)=0の解のすべてをQに添加した体をKとする。


体Kの自己同形の全体Gは群をなし、その位数はnである。

このGをKのQ上のガロア群と称する。


Gの部分群とKの部分体とが一定の方法で


1対1に対応するというのがガロアの基本定理である。

こうして、体の問題が群の問題に転化される。

とくにf(x)=0の解が係数とべき根を用いて表されるためには、

G(0)=G, G(n+1)=[G(n),G(n)

(ここに[G(n),G(n)]はGの交換子群である)とするとき、

あるnに対してG(n)が単位元のみからなるとなることが必要十分条件である。


このような条件を満たす群を可解群という。

すなわち、ガロア群が可解群であることがべき根で解ける条件である。




[足立恒雄]

コメント

このブログの人気の投稿

重いものと軽いものを地面に落としたら?

重いものと軽いものを地面に落としたら どっちが早く落ちるのか? 結論からいうと、どちらも変わらない。 (*しかし、空気がある世界では、より軽く、よりやわらかく、 表面積が大きいものが 遅く落下する。 ペラペラの紙切れがゆっくり落ちていくのが最たる例である。) 物理学の世界では、 物体を自然と落とすことを 自由落下 という。 では、なぜ重いものと軽いものが 同時に落ちるのか、思考実験といわれる 頭の中で実験をして確かめてみよう。 空気抵抗が無いもの、つまり 真空中 と 仮定して話を進めてみる。 【真空中…空気が全くない状態。】 1gのものと、1gのものを同時に落としたら、 同じ速度で落下することは納得できると思う。 では、1gのものと2gのものは? と考えてみよう。 2gのものは1gのものを1+1=2個くっつけただけであり、 それ以上のものではない。 くっついたというだけのことで落下速度が速くなるのであれば、 分割すれば遅くなる ということが推論できる。 じゃぁドンドンと分割していくと、 そのうち落下しないで 空中に止まったままになるのか? とまぁこんな感じの思考実験をすることで ある程度納得できるのではないかと思いますが、どうだろうか ? では、実際に理論的に説明していこう。 重い物に働く重力の方が軽い物に働く重力より大きい。 重力 (mg) =質量 (m) ×比例係数 (g) … ① この公式は中学物理で出てくるものである。 比例定数は重力加速度=gと呼ばれ、 厳密には  g= 9.80665[m/s² ]  と定義されている。 同じ力を加えても 重い物 の方 が 軽い物 より 動かしにくい 。 加速度 ( a :   m /s 2 ) =加える力 ( F: N) /質量 ( m: kg)    … ②  ②…これを運動方程式という 【*物理学で力は記号でFを表す。単位はN。】 これも経験があるのではないだろうか。 次のような経験がないだろうか? ・同じ重さなら加える力が大きいほど良く加速する。 ・同じ力なら軽い物ほど良く加速する。 物体に加える力が重力だけの場合は、 ①を②に代入して、 加速度=加

儀礼的無関心

1,電車での出来事 電車の中では、 ふつうであれば夫婦や親子など 親密な関係にある人間しか 入ることを許されない密接距離や、 友人同士で用いられる個体距離のなかに 見知らぬ他人 が入りこんでくるということから、 別の規則が派生してくる。 私たちはたまたま電車で隣り合って座った人と 挨拶を交わたりしないし, ふつうは話しかけることもない。   私たちはあたかも 自分の 密接距離 や 個体距離 のなかに 人がいることに   気がつかないかのように、 それぞれ新聞や雑誌を読んだり、 ヘッドホンをつけ 音楽を聴いたり、携帯電話をチェックしたり、 ゲームをしたり,あるいは 目をつむって考えごとをしたりしている。 それはあたかも 物理的に失われた距離を心理的距離によって 埋め合わせているかのようである。 アメリカの社会学者 E. ゴフマン( 1922 ~ 82 )は, 公共空間のなかで人びとが示す このような態度を 儀礼的無関心 と呼んだ。 2、具体的に儀礼的無関心とは どのような状態で 行われるのか? 「そこで行なわれることは、 相手をちらっと見ることは見るが、 その時の表情は相手の存在を認識したことを 表わす程度にとどめるのが普通である。 そして、次の瞬間すぐに視線をそらし、 相手に対して特別の好奇心や 特別の意図がないことを示す。」 電車のなかで他の乗客にあからさまな 好奇心を向けることが 不適切とされるのはそのためである。 たとえば, 電車のなかで他の乗客をじろじろ眺めたり, 隣の人が読んでいる本を のぞきこんだりすることは不適切と感じられる。 例外は子どもである。 子どもは他の乗客を指差して 「あのおじさん変なマスクをしてる」 と言っても大目にみられるし, 逆に子どもに対してはじっと見つめることも, 話しかけることも許され

DLVOの理論

1,DLVOの理論とは 二つの 界面* が近づくときの、 【 *… 気体と 液体 、液体と液体、液体と 固体 、固体と固体、固体と 気体 のように、 二つの相が互いに接触している境界面】 電気二重層間の相互作用に基づいた 疎水コロイド溶液の安定性に関する理論。 これはデリャーギンと ランダウ (1941)と フェルヴァイとオーヴァベック(1948)が それぞれ独立に導いたので四人の名前で呼ばれている。 電解質水溶液中で、正または負に帯電している界面に対して、 反対符号の イオン はこれと中和するように分布すると考えると、 その濃度に基づく 電位  φ は界面からの距離  d  に関して 指数関数的に減少する。 すなわち φ=φ 0  exp(-κ d  ) となる。 φ 0  は界面に固定されるイオン層の電位で、 κ は定数であるが電気二重層の厚さを表現する基準となる値で である。 ここで, z  はイオン価, e  は電気素量、 n  はイオンの濃度(イオンの数/cm 3 )、 ε は溶液の誘電率、 k  は ボルツマン定数* 、 T  は絶対温度である。 共存イオンの影響で、電気二重層の厚さが変化すると考えると、 この式から シュルツェ‐ハーディの法則* も たくみに説明可能である。 リンク