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ケーニヒスベルクの橋













1,ケーニヒスベルクの橋




18世紀の初め,プロシアのケーニヒスベルクで提示された数学の問題。


ケーニヒスベルクを流れるプレーゲル川には,

図のように七つの橋がかかっていた。






問題は「プレーゲル川にかかる七つの橋を 2度通らずに,

すべて渡る経路が存在するか」というものである。



1735年にスイスの数学者レオンハルト・オイラーは,

このような経路は存在しないことを証明して,問題を解決した。


図の四つの土地の領域に点を対応させ,

これらの土地を結ぶ七つの橋に対応して,四つの点を線で結ぶ。


このようにいくつかの点(頂点)とそれらを結ぶ線(辺)でできた図形をグラフという。


ケーニヒスベルクの橋の問題はこのようにしてできるグラフを1筆書きできるか,





つまりペンを紙から離さず,同じ辺を 2度通らずに,

すべての辺をたどることができるかという問題と同等である。




一般に,連結したグラフが1筆書きできるためには

次の条件のいずれかが満たされていなければならない。

(1) すべての頂点について,集まる辺の本数が偶数である。

(2) 集まる辺の本数が奇数であるような頂点が二つ存在し,


ほかの頂点について,集まる辺の本数が偶数である。




(1)の場合は閉じた経路になり,

(2)の場合は始点と終点が異なる経路になる。


ケーニヒスベルクの橋の問題は,

対応するグラフがこれらの条件を満たさないことから解決される。

オイラーの研究は,

その後の位相幾何学(→トポロジー)とグラフ理論の発展の嚆矢となった。











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